Geotechnik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Effektive Spannung im Boden

Totale Spannung: σ = Σγ_i·h_i
Porenwasserdruck: u = γ_w·(z − z_w)
Effektive Spannung: σ′ = σ − u
Wasser: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidationssetzung

Normal konsolidiert: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Endspannung: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Überkonsolidiert, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Überkonsolidiert, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Überkonsolidierungsgrad: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidierungszeit: t = T_v·H_dr²/c_v
Dränweg: H_dr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
Zeitfaktoren: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

2Übungsaufgaben

1.Effektive Spannung im BodenMittel

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil den Porenwasserdruck u im Punkt X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 15,5 kN/m³Sand: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

2.Effektive Spannung im BodenSchwer

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.

z = 7,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 15 kN/m³Sand: γ_sat = 20 kN/m³Ton: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

3.KonsolidationssetzungMittel

Eine 2,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat C_c = 0,2, C_r = 0,06 und e₀ = 0,6. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 60 kPa und die Vorbelastungsspannung 130 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 140 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.

H = 2,5 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,6σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 140 kPa

S = mm

4.KonsolidationssetzungSchwer

Eine 10 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert c_v = 2,5 m²/Jahr. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Für 90 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor T_v = 0,848. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 90 % Konsolidation zu erreichen?

H = 10 mc_v = 2,5 m²/JahrU = 90%T_v = 0,848einseitige Entwässerung

t = Jahre

5.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3Lösungen

1.Effektive Spannung im Boden

Antwort: u = 29,43 kPa

Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γ_w·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).

Porenwasserdruck

Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Antwort

u = 29,43 kPa

2.Effektive Spannung im Boden

Antwort: σ′ = 91,91 kPa

Totale Spannung

Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15·4 + 20·1 + 18,5·2,5 = 126,3 kPa

Porenwasserdruck

Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

Effektive Spannung

σ′ = σ − u = 126,3 − 34,34 = 91,91 kPa

Antwort

σ′ = 91,91 kPa

3.Konsolidationssetzung

Antwort: S = 89,95 mm

Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′_p entlang C_r wiederbelastet und folgt erst darüber C_c. Zeit: t = T_v·H_dr²/c_v, wobei der Dränweg H_dr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.

Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen

σ′_f = 60 + 140 = 200 kPa > 130 kPa

Setzung

Wiederbelastung bis σ′_p, Erstbelastung darüber.

S = 0,06·2,5/(1 + 0,6)·log₁₀(130/60) + 0,2·2,5/(1 + 0,6)·log₁₀(200/130)

S = 31,48 + 58,46 = 89,95 mm

Antwort

S = 89,95 mm

4.Konsolidationssetzung

Antwort: t = 33,92 Jahre

Dränweg

H_dr = H = 10 m

Zeit

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·10²/2,5 = 33,92 Jahre

Antwort

t = 33,92 Jahre

5.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 49,66 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Antwort

F = 49,66 kN

6.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 2,048 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 2,604/(1,75·5) = 2,048 m

Antwort

y_cp = 2,048 m

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