Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil den Porenwasserdruck u im Punkt X.
z = 2 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16 kN/m³Sand: γsat = 20,5 kN/m³
u = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 7 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16,5 kN/m³Sand: γsat = 20 kN/m³Ton: γsat = 17,5 kN/m³
σ′ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 3 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,25, Cr = 0,03 und e₀ = 0,8. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 110 kPa und der Überkonsolidierungsgrad OCR = 2. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 190 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 3 mCc = 0,25Cr = 0,03e0 = 0,8σ′0 = 110 kPaOCR = 2Δσ = 190 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 25 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 6 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 7 m dicke Schicht. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
hlab = 25 mmtlab = 6 minH = 7 mFeld: einseitige Entwässerung
t = Tage
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: u = 9,81 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·1 = 9,81 kPa
Antwort
u = 9,81 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 73,95 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·4
σ = 16,5·2 + 20·1 + 17,5·4 = 123 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 123 − 49,05 = 73,95 kPa
Antwort
σ′ = 73,95 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 71,18 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Vorbelastungsspannung
σ′p = OCR·σ′0 = 2·110 = 220 kPa
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 110 + 190 = 300 kPa > 220 kPa
Setzung
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
S = 0,03·3/(1 + 0,8)·log₁₀(220/110) + 0,25·3/(1 + 0,8)·log₁₀(300/220)
S = 15,05 + 56,12 = 71,18 mm
Antwort
S = 71,18 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 1307 Tage
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränwege
Hdr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m
Hdr,field = 7 m
Die Zeit umrechnen
t = Tv·Hdr²/cv mit demselben T_v und cv im Labor und im Feld.
tfield = 6·(7/0,0125)² = 1,882 × 10⁶ min
tfield = 1,882 × 10⁶/1440 = 1307 Tage
Antwort
t = 1307 Tage
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 176,6 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN
Antwort
F = 176,6 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 66,22 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN
Antwort
F = 66,22 kN
ExamProblems · examproblems.com/courses/geotechnical-engineering