Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 5 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 15,5 kN/m³Sand: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 10 mzw = 4 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 17 kN/m³Sand: γsat = 20 kN/m³Ton: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 7,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,35, Cr = 0,02 und e₀ = 1,05. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 50 kPa und der Überkonsolidierungsgrad OCR = 1,5. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 160 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 7,5 mCc = 0,35Cr = 0,02e0 = 1,05σ′0 = 50 kPaOCR = 1,5Δσ = 160 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 25 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 15 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 6,5 m dicke Schicht. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
hlab = 25 mmtlab = 15 minH = 6,5 mFeld: einseitige Entwässerung
t = Tage
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 52,26 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15,5·1 + 19·4 = 91,5 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4 = 39,24 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 91,5 − 39,24 = 52,26 kPa
Antwort
σ′ = 52,26 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 121,1 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·4 + γsat,sand·2 + γsat,clay·4
σ = 17·4 + 20·2 + 18·4 = 180 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·6 = 58,86 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 180 − 58,86 = 121,1 kPa
Antwort
σ′ = 121,1 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 585,5 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Vorbelastungsspannung
σ′p = OCR·σ′0 = 1,5·50 = 75 kPa
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 50 + 160 = 210 kPa > 75 kPa
Setzung
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
S = 0,02·7,5/(1 + 1,05)·log₁₀(75/50) + 0,35·7,5/(1 + 1,05)·log₁₀(210/75)
S = 12,88 + 572,6 = 585,5 mm
Antwort
S = 585,5 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 2817 Tage
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränwege
Hdr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m
Hdr,field = 6,5 m
Die Zeit umrechnen
t = Tv·Hdr²/cv mit demselben T_v und cv im Labor und im Feld.
tfield = 15·(6,5/0,0125)² = 4,056 × 10⁶ min
tfield = 4,056 × 10⁶/1440 = 2817 Tage
Antwort
t = 2817 Tage
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 242,8 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN
Antwort
F = 242,8 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 48,67 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,75·2,25 = 48,67 kN
Antwort
F = 48,67 kN
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