Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 6 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 17 kN/m³Sand: γsat = 20 kN/m³
σ′ = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.
z = 9 mzw = 5 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16 kN/m³Sand: γsat = 19,5 kN/m³Ton: γsat = 19 kN/m³
σ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,5, Cr = 0,06 und e₀ = 0,65. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 120 kPa und der Überkonsolidierungsgrad OCR = 3. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 100 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 5 mCc = 0,5Cr = 0,06e0 = 0,65σ′0 = 120 kPaOCR = 3Δσ = 100 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
Eine 9 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert cv = 2,5 m²/Jahr. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Für 90 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor Tv = 0,848. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 90 % Konsolidation zu erreichen?
H = 9 mcv = 2,5 m²/JahrU = 90%Tv = 0,848zweiseitige Entwässerung
t = Jahre
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 67,95 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·1 + 20·5 = 117 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 117 − 49,05 = 67,95 kPa
Antwort
σ′ = 67,95 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ = 156,5 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·5 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3
σ = 16·5 + 19,5·1 + 19·3 = 156,5 kPa
Antwort
σ = 156,5 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 47,86 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Vorbelastungsspannung
σ′p = OCR·σ′0 = 3·120 = 360 kPa
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 120 + 100 = 220 kPa ≤ 360 kPa
Setzung
Der Ton bleibt auf seiner Wiederbelastungslinie.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,06·5/(1 + 0,65)·log₁₀(220/120) = 47,86 mm
Antwort
S = 47,86 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 6,869 Jahre
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränweg
Hdr = H/2 = 9/2 = 4,5 m
Zeit
t = Tv·Hdr²/cv = 0,848·4,5²/2,5 = 6,869 Jahre
Antwort
t = 6,869 Jahre
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 147,2 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN
Antwort
F = 147,2 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 3,308 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,25·1,5 = 49,02 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,2813/(3,25·1,5) = 3,308 m
Antwort
ycp = 3,308 m
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