Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.
z = 6 mzw = 4 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16,5 kN/m³Sand: γsat = 20,5 kN/m³
σ = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 6,5 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16 kN/m³Sand: γsat = 19 kN/m³Ton: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 5,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,45, Cr = 0,02 und e₀ = 1,1. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 105 kPa und die Vorbelastungsspannung 175 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 190 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 5,5 mCc = 0,45Cr = 0,02e0 = 1,1σ′0 = 105 kPaσ′p = 175 kPaΔσ = 190 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 25 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 8 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 4 m dicke Schicht. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
hlab = 25 mmtlab = 8 minH = 4 mFeld: einseitige Entwässerung
t = Tage
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ = 107 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16,5·4 + 20,5·2 = 107 kPa
Antwort
σ = 107 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 61,54 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·1 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2,5
σ = 16·1 + 19·3 + 17·2,5 = 115,5 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 115,5 − 53,96 = 61,54 kPa
Antwort
σ′ = 61,54 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 278,9 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 105 + 190 = 295 kPa > 175 kPa
Setzung
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
S = 0,02·5,5/(1 + 1,1)·log₁₀(175/105) + 0,45·5,5/(1 + 1,1)·log₁₀(295/175)
S = 11,62 + 267,3 = 278,9 mm
Antwort
S = 278,9 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 568,9 Tage
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränwege
Hdr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m
Hdr,field = 4 m
Die Zeit umrechnen
t = Tv·Hdr²/cv mit demselben T_v und cv im Labor und im Feld.
tfield = 8·(4/0,0125)² = 819200 min
tfield = 819200/1440 = 568,9 Tage
Antwort
t = 568,9 Tage
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 82,77 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN
Antwort
F = 82,77 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 211,2 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·6 = 211,2 kN
Antwort
F = 211,2 kN
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