Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 5 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16,5 kN/m³Sand: γsat = 20 kN/m³
σ′ = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 8,5 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 17 kN/m³Sand: γsat = 20,5 kN/m³Ton: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 4,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,5, Cr = 0,03 und e₀ = 1,2. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 65 kPa und die Vorbelastungsspannung 135 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 110 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 4,5 mCc = 0,5Cr = 0,03e0 = 1,2σ′0 = 65 kPaσ′p = 135 kPaΔσ = 110 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
Eine 9 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert cv = 0,5 m²/Jahr. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Für 50 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor Tv = 0,197. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
H = 9 mcv = 0,5 m²/JahrU = 50%Tv = 0,197einseitige Entwässerung
t = Jahre
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 69,88 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16,5·3 + 20·2 = 89,5 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·2 = 19,62 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 89,5 − 19,62 = 69,88 kPa
Antwort
σ′ = 69,88 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 101 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·3 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2,5
σ = 17·3 + 20,5·3 + 17·2,5 = 155 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 155 − 53,96 = 101 kPa
Antwort
σ′ = 101 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 134,7 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 65 + 110 = 175 kPa > 135 kPa
Setzung
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
S = 0,03·4,5/(1 + 1,2)·log₁₀(135/65) + 0,5·4,5/(1 + 1,2)·log₁₀(175/135)
S = 19,48 + 115,3 = 134,7 mm
Antwort
S = 134,7 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 31,91 Jahre
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränweg
Hdr = H = 9 m
Zeit
t = Tv·Hdr²/cv = 0,197·9²/0,5 = 31,91 Jahre
Antwort
t = 31,91 Jahre
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 397,3 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·9 = 397,3 kN
Antwort
F = 397,3 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 49,05 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN
Antwort
F = 49,05 kN
ExamProblems · examproblems.com/courses/geotechnical-engineering