Geotechnik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Effektive Spannung im Boden

Totale Spannung: σ = Σγ_i·h_i
Porenwasserdruck: u = γ_w·(z − z_w)
Effektive Spannung: σ′ = σ − u
Wasser: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidationssetzung

Normal konsolidiert: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Endspannung: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Überkonsolidiert, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Überkonsolidiert, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Überkonsolidierungsgrad: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidierungszeit: t = T_v·H_dr²/c_v
Dränweg: H_dr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
Zeitfaktoren: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

2Übungsaufgaben

1.Effektive Spannung im BodenMittel

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 17 kN/m³Sand: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

2.Effektive Spannung im BodenSchwer

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil den Porenwasserdruck u im Punkt X.

z = 9,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 16,5 kN/m³Sand: γ_sat = 20 kN/m³Ton: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

3.KonsolidationssetzungMittel

Eine 2,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat C_c = 0,2, C_r = 0,04 und e₀ = 0,9. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 55 kPa und der Überkonsolidierungsgrad OCR = 3. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 160 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.

H = 2,5 mC_c = 0,2C_r = 0,04e₀ = 0,9σ′₀ = 55 kPaOCR = 3Δσ = 160 kPa

S = mm

4.KonsolidationssetzungSchwer

Eine 8,5 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert c_v = 2 m²/Jahr. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Für 80 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor T_v = 0,567. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 80 % Konsolidation zu erreichen?

H = 8,5 mc_v = 2 m²/JahrU = 80%T_v = 0,567zweiseitige Entwässerung

t = Jahre

5.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3Lösungen

1.Effektive Spannung im Boden

Antwort: σ = 128 kPa

Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γ_w·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).

Totale Spannung

Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 20·3 = 128 kPa

Antwort

σ = 128 kPa

2.Effektive Spannung im Boden

Antwort: u = 83,39 kPa

Porenwasserdruck

Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8,5 = 83,39 kPa

Antwort

u = 83,39 kPa

3.Konsolidationssetzung

Antwort: S = 55,36 mm

Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′_p entlang C_r wiederbelastet und folgt erst darüber C_c. Zeit: t = T_v·H_dr²/c_v, wobei der Dränweg H_dr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.

Vorbelastungsspannung

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·55 = 165 kPa

Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen

σ′_f = 55 + 160 = 215 kPa > 165 kPa

Setzung

Wiederbelastung bis σ′_p, Erstbelastung darüber.

S = 0,04·2,5/(1 + 0,9)·log₁₀(165/55) + 0,2·2,5/(1 + 0,9)·log₁₀(215/165)

S = 25,11 + 30,25 = 55,36 mm

Antwort

S = 55,36 mm

4.Konsolidationssetzung

Antwort: t = 5,121 Jahre

Dränweg

H_dr = H/2 = 8,5/2 = 4,25 m

Zeit

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·4,25²/2 = 5,121 Jahre

Antwort

t = 5,121 Jahre

5.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 69,9 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·1,5 = 69,9 kN

Antwort

F = 69,9 kN

6.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 135,7 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·3 = 135,7 kN

Antwort

F = 135,7 kN

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