Geotechnik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Effektive Spannung im Boden

Totale Spannung: σ = Σγ_i·h_i
Porenwasserdruck: u = γ_w·(z − z_w)
Effektive Spannung: σ′ = σ − u
Wasser: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidationssetzung

Normal konsolidiert: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Endspannung: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Überkonsolidiert, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Überkonsolidiert, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Überkonsolidierungsgrad: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidierungszeit: t = T_v·H_dr²/c_v
Dränweg: H_dr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
Zeitfaktoren: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

2Übungsaufgaben

1.Effektive Spannung im BodenMittel

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.

z = 11 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 16,5 kN/m³Sand: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

2.Effektive Spannung im BodenSchwer

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.

z = 7,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 15,5 kN/m³Sand: γ_sat = 19,5 kN/m³Ton: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

3.KonsolidationssetzungMittel

Eine 7,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat C_c = 0,25, C_r = 0,02 und e₀ = 1,15. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 80 kPa und der Überkonsolidierungsgrad OCR = 3. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 30 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.

H = 7,5 mC_c = 0,25C_r = 0,02e₀ = 1,15σ′₀ = 80 kPaOCR = 3Δσ = 30 kPa

S = mm

4.KonsolidationssetzungSchwer

Eine 7,5 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert c_v = 1,5 m²/Jahr. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Für 60 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor T_v = 0,287. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 60 % Konsolidation zu erreichen?

H = 7,5 mc_v = 1,5 m²/JahrU = 60%T_v = 0,287zweiseitige Entwässerung

t = Jahre

5.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3Lösungen

1.Effektive Spannung im Boden

Antwort: σ = 213 kPa

Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γ_w·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).

Totale Spannung

Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·2 + 20·9 = 213 kPa

Antwort

σ = 213 kPa

2.Effektive Spannung im Boden

Antwort: σ = 129 kPa

Totale Spannung

Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15,5·3 + 19,5·1 + 18·3,5 = 129 kPa

Antwort

σ = 129 kPa

3.Konsolidationssetzung

Antwort: S = 9,649 mm

Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′_p entlang C_r wiederbelastet und folgt erst darüber C_c. Zeit: t = T_v·H_dr²/c_v, wobei der Dränweg H_dr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.

Vorbelastungsspannung

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·80 = 240 kPa

Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen

σ′_f = 80 + 30 = 110 kPa ≤ 240 kPa

Setzung

Der Ton bleibt auf seiner Wiederbelastungslinie.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·7,5/(1 + 1,15)·log₁₀(110/80) = 9,649 mm

Antwort

S = 9,649 mm

4.Konsolidationssetzung

Antwort: t = 2,691 Jahre

Dränweg

H_dr = H/2 = 7,5/2 = 3,75 m

Zeit

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3,75²/1,5 = 2,691 Jahre

Antwort

t = 2,691 Jahre

5.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 156,3 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN

Antwort

F = 156,3 kN

6.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 25,75 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN

Antwort

F = 25,75 kN

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