Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Ziegel und 150 mm Holz, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -9 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Glas und 25 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 110 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 120 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 110 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 150 auf 125 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 30 °C eintritt. Bestimme mit U = 1000 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 125 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 138,7 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·4) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,2379 = 138,7 W
Antwort
Q̇ = 138,7 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 485 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·12) = 0,0217 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·12) = 0,002894 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,03918 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (2))/0,03918 = 485 W
Antwort
Q̇ = 485 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 36,74 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 4·4,18·(110 − 30) = 1338 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 120 − 30 = 90 K
ΔT₂ = 120 − 110 = 10 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 10)/ln(90/10) = 36,41 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,338 × 10⁶/(1000·36,41) = 36,74 m²
Antwort
A = 36,74 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 1,17 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·25 = 115 kW
Tc,out = 30 + 115/(1,5·4,18) = 48,34 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 48,34 = 101,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 30 = 95 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (101,7 − 95)/ln(101,7/95) = 98,29 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 115000/(1000·98,29) = 1,17 m²
Antwort
A = 1,17 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer