Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Ziegel und 50 mm Beton, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 23 °C und 2 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = 2 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Mineralwolle und 150 mm Ziegel trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -6 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 380 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 12 m². Das heiße Fluid kühlt von 90 auf 60 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 45 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 380 kWA = 12 m²Th: 90 → 60 °CTc: 25 → 45 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2,5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2500 W/(m²·K). Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 25 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 130 °CA = 2,5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 5,073 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·4) = 0,008929 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,06101 = 344,2 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 344,2·0,05208 = 5,073 °C
Antwort
Ti = 5,073 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 21,48 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,3572 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-6))/0,3572 = 78,38 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 78,38·0,006667 = 21,48 °C
Antwort
Ts = 21,48 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 795,8 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 45 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 35)/ln(45/35) = 39,79 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 380000/(12·39,79) = 795,8 W/(m²·K)
Antwort
U = 795,8 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 66,21 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2,5/(3·4180) = 0,4984
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4984 = 105·0,6075 = 63,79 K
Tc,out = 130 − 63,79 = 66,21 °C
Antwort
Tc,out = 66,21 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 516,8 kW.
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