Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Gipskarton und 75 mm Ziegel, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 17 °C und 7 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Glas und 100 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 460 kW. Das heiße Fluid kühlt von 90 auf 70 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 40 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 460 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 90 → 70 °CTc: 30 → 40 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 100 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 4 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 10 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 100 °CA = 4 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 38,1 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,2625 = 38,1 W
Antwort
Q̇ = 38,1 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 19,19 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,8101 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-1))/0,8101 = 25,92 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 25,92·0,03125 = 19,19 °C
Antwort
Ts = 19,19 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 53,14 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 30 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 40 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 30)/ln(60/30) = 43,28 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 460000/(200·43,28) = 53,14 m²
Antwort
A = 53,14 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 94,9 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·4/(0,5·4180) = 2,871
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,871 = 90·0,05665 = 5,099 K
Tc,out = 100 − 5,099 = 94,9 °C
Antwort
Tc,out = 94,9 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 177,4 kW.
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