Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Gipskarton und 25 mm Beton, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 25 °C und 1 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 25 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Mineralwolle und 75 mm Holz trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -10 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 15 auf 70 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 2000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 110 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 70 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2,5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2000 W/(m²·K). Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 20 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 130 °CA = 2,5 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 1,359 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·10) = 0,1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·10) = 0,001786 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,1194 = 200,9 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 200,9·0,1176 = 1,359 °C
Antwort
Ti = 1,359 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 19,31 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,4331 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-10))/0,4331 = 69,27 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 69,27·0,01 = 19,31 °C
Antwort
Ts = 19,31 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 7,231 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 4·4,18·(70 − 15) = 919,6 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 110 − 15 = 95 K
ΔT₂ = 110 − 70 = 40 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 40)/ln(95/40) = 63,58 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 919600/(2000·63,58) = 7,231 m²
Antwort
A = 7,231 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 96,74 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·2,5/(1·4180) = 1,196
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 110·0,3023 = 33,26 K
Tc,out = 130 − 33,26 = 96,74 °C
Antwort
Tc,out = 96,74 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 320,8 kW.
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