Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Ziegel und 25 mm Beton, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 18 °C und -13 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 18 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Ziegel und 75 mm Beton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -12 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 130 kW. Das heiße Fluid kühlt von 135 auf 80 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 130 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 135 → 80 °CTc: 30 → 65 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 130 auf 50 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 20 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 50 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 822,3 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·6) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·6) = 0,002976 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,0377 = 822,3 W
Antwort
Q̇ = 822,3 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 1,825 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·10) = 0,02778 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·10) = 0,005357 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,0548 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,0548) = 1,825 W/(m²·K)
Antwort
U = 1,825 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 3,513 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 135 − 30 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 65 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 15)/ln(105/15) = 46,25 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(800·46,25) = 3,513 m²
Antwort
A = 3,513 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 7,185 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·80 = 184 kW
Tc,out = 20 + 184/(1,5·4,18) = 49,35 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 49,35 = 80,65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80,65 − 30)/ln(80,65/30) = 51,22 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 184000/(500·51,22) = 7,185 m²
Antwort
A = 7,185 m²
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