Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Glas, k = 0,9650 mmHolz, k = 0,17150 mm19 °C-13 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 50 mm Glas und 150 mm Holz, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 19 °C und -13 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Gipskarton, k = 0,1750 mmZiegel, k = 0,72100 mmRaum 21 °Caußen -7 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 50 mm Gipskarton und 100 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -7 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT120 °C80 °C30 °C50 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 170 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 25 m². Das heiße Fluid kühlt von 120 auf 80 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 50 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 170 kWA = 25 m²Th: 120 → 80 °CTc: 30 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT120 °C70 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂Gleichstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 120 auf 70 °C ab. Wasser (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 20 °C ein. Das Innenrohr hat 25 mm Durchmesser, und U = 200 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 17,22 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,0623 = 513,7 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 513,7·0,003472 = 17,22 °C

Antwort

Ti = 17,22 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 16,11 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·15) = 0,009259 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,0382 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-7))/0,0382 = 733 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 733·0,006667 = 16,11 °C

Antwort

Ts = 16,11 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 124,5 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 30 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 50 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 30)/ln(90/30) = 54,61 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 170000/(25·54,61) = 124,5 W/(m²·K)

Antwort

U = 124,5 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 60,72 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 0,5·2,3·(120 − 70) = 57,5 kW
Tc,out = 20 + 57,5/(0,8·4,18) = 37,19 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 37,19 = 32,81 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 32,81)/ln(100/32,81) = 60,29 K

Fläche und Länge

A = 57500/(200·60,29) = 4,769 m²
L = A/(πD) = 4,769/(π·0,025) = 60,72 m

Antwort

L = 60,72 m

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