Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm expandiertes Polystyrol und 150 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 20 °C und 6 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Mineralwolle und 50 mm Glas trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -15 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 310 kW. Das heiße Fluid kühlt von 170 auf 105 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 90 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 310 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 170 → 105 °CTc: 20 → 90 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 110 auf 75 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 10 °C eintritt. Bestimme mit U = 800 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 110 → 75 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 12,71 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·6) = 0,625 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/1,101 = 12,71 W
Antwort
Q̇ = 12,71 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 20,83 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·12) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4382 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-15))/0,4382 = 84,43 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 84,43·0,01389 = 20,83 °C
Antwort
Ts = 20,83 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 4,698 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 90 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 85)/ln(80/85) = 82,47 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 310000/(800·82,47) = 4,698 m²
Antwort
A = 4,698 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,6415 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·35 = 40,25 kW
Tc,out = 10 + 40,25/(1,5·4,18) = 16,42 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 16,42 = 93,58 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 10 = 65 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (93,58 − 65)/ln(93,58/65) = 78,42 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40250/(800·78,42) = 0,6415 m²
Antwort
A = 0,6415 m²
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