Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Glas und 150 mm Holz, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 19 °C und -2 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = -2 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Gipskarton und 75 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -8 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 50 kW. Das heiße Fluid kühlt von 115 auf 90 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 60 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 50 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 115 → 90 °CTc: 15 → 60 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 130 auf 85 °C ab. Wasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 32 mm Durchmesser, und U = 500 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 85 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 147 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·8) = 0,03255 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,1428 = 147 W
Antwort
Q̇ = 147 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,3141 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·12) = 0,1786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,2653 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,2653) = 0,3141 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,3141 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 3,877 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 60 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 75)/ln(55/75) = 64,48 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 50000/(200·64,48) = 3,877 m²
Antwort
A = 3,877 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 35,68 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 1·2,3·(130 − 85) = 103,5 kW
Tc,out = 25 + 103,5/(0,5·4,18) = 74,52 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 74,52 = 55,48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55,48 − 60)/ln(55,48/60) = 57,71 K
Fläche und Länge
A = 103500/(500·57,71) = 3,587 m²
L = A/(πD) = 3,587/(π·0,032) = 35,68 m
Antwort
L = 35,68 m
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