Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz: Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand: R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand: R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-Wert: U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung: Q = U·A·ΔT_lm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilanz eines Stroms: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel

Eine Wand besteht aus 100 mm Glas und 50 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -2 °C. Bestimme die Temperatur T_i an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L₁ = 100 mm, k₁ = 0,96 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T₁ = 22 °CT₃ = -2 °C

T_i = °C

2.WärmeleitungSchwer

Eine Wand aus 200 mm expandiertes Polystyrol und 100 mm Holz trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme die Temperatur T_s der Innenoberfläche der Wand.

L₁ = 200 mm, k₁ = 0,035 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -2 °C

T_s = °C

3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 50 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 135 auf 75 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 60 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,8, und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 50 kWF = 0,8U = 300 W/(m²·K)T_h: 135 → 75 °CT_c: 30 → 60 °C

A = m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer

Dampf kondensiert bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1000 W/(m²·K). Kühlwasser (1,5 kg/s, c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 30 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers T_c,out.

T_s = 105 °CA = 2 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 30 °C

T_c,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: T_i = 20,15 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R₁ = L₁/(k₁A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 24/0,3385 = 70,89 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 22 − 70,89·0,02604 = 20,15 °C

Antwort

T_i = 20,15 °C

2.Wärmeleitung

Antwort: T_s = 21,54 °C

Widerstände in Reihe

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (200/1000)/(0,035·4) = 1,429 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W

ΣR = 1,619 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (22 − (-2))/1,619 = 14,82 W

T_s = T_room − Q̇·R_i = 22 − 14,82·0,03125 = 21,54 °C

Antwort

T_s = 21,54 °C

3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 3,547 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 135 − 60 = 75 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 75 − 30 = 45 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 45)/ln(75/45) = 58,73 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔT_lm,cf) = 50000/(300·0,8·58,73) = 3,547 m²

Antwort

A = 3,547 m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: T_c,out = 50,48 °C

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = T_s − T_c,in und ΔT₂ = T_s − T_c,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁc_p(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)

ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁc_p) = 1000·2/(1,5·4180) = 0,319

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e^−0,319 = 75·0,7269 = 54,52 K

T_c,out = 105 − 54,52 = 50,48 °C

Antwort

T_c,out = 50,48 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 128,4 kW.

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