Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz: Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand: R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand: R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-Wert: U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung: Q = U·A·ΔT_lm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilanz eines Stroms: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel

Eine Wand besteht aus 250 mm Gipskarton und 150 mm Glas, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 17 °C und -11 °C. Bestimme die Temperatur T_i an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L₁ = 250 mm, k₁ = 0,17 W/(m·K)L₂ = 150 mm, k₂ = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T₁ = 17 °CT₃ = -11 °C

T_i = °C

2.WärmeleitungSchwer

Eine Wand aus 50 mm expandiertes Polystyrol und 50 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme die Temperatur T_s der Innenoberfläche der Wand.

L₁ = 50 mm, k₁ = 0,035 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -4 °C

T_s = °C

3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 80 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 25 m². Das heiße Fluid kühlt von 115 auf 95 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 75 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 80 kWA = 25 m²T_h: 115 → 95 °CT_c: 20 → 75 °C

U = W/(m²·K)

4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·c_p = 1 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 140 °C ein, der kalte mit 20 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 3 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur T_h,out des heißen Stroms.

C_h = C_c = 1 kW/KT_h,in = 140 °CT_c,in = 20 °CA = 3 m²U = 300 W/(m²·K)

T_h,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: T_i = −8,311 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0,17·12) = 0,1225 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (150/1000)/(0,96·12) = 0,01302 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 28/0,1356 = 206,5 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 17 − 206,5·0,1225 = −8,311 °C

Antwort

T_i = −8,311 °C

2.Wärmeleitung

Antwort: T_s = 19,77 °C

Widerstände in Reihe

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W

ΣR = 0,3232 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (22 − (-4))/0,3232 = 80,44 W

T_s = T_room − Q̇·R_i = 22 − 80,44·0,02778 = 19,77 °C

Antwort

T_s = 19,77 °C

3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 66,48 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,in = 115 − 20 = 95 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,out = 95 − 75 = 20 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 20)/ln(95/20) = 48,13 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔT_lm) = 80000/(25·48,13) = 66,48 W/(m²·K)

Antwort

U = 66,48 W/(m²·K)

4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: T_h,out = 83,16 °C

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: T_c,out = T_c,in + (T_h,in − T_h,out), also ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = T_h,out − T_c,in = ΔT₂.

ΔT_lm = T_h,out − T_c,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1·(140 − T_h,out) = 0,9·(T_h,out − 20)

T_h,out = (1·140 + 0,9·20)/(1 + 0,9) = 83,16 °C

Antwort

T_h,out = 83,16 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 56,84 kW; der kalte Strom tritt mit 76,84 °C aus.

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