Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Gipskarton und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 22 °C und 8 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Beton und 50 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 320 kW. Das heiße Fluid kühlt von 165 auf 140 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 30 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 320 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 165 → 140 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 135 auf 90 °C ab. Wasser (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 20 °C ein. Das Innenrohr hat 50 mm Durchmesser, und U = 250 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 90 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 50 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 425,7 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,03288 = 425,7 W
Antwort
Q̇ = 425,7 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 74,2 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,2426 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (3))/0,2426 = 74,2 W
Antwort
Q̇ = 74,2 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 12,56 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 30 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 140 − 20 = 120 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 120)/ln(135/120) = 127,4 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(200·127,4) = 12,56 m²
Antwort
A = 12,56 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 26,46 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,8·2,3·(135 − 90) = 82,8 kW
Tc,out = 20 + 82,8/(0,8·4,18) = 44,76 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 44,76 = 90,24 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 20 = 70 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90,24 − 70)/ln(90,24/70) = 79,69 K
Fläche und Länge
A = 82800/(250·79,69) = 4,156 m²
L = A/(πD) = 4,156/(π·0,05) = 26,46 m
Antwort
L = 26,46 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer