Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 23 °C und 9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Holz und 25 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 450 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 170 auf 80 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 40 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,88, und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 450 kWF = 0,88U = 300 W/(m²·K)Th: 170 → 80 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 90 auf 50 °C ab. Wasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 15 °C ein. Das Innenrohr hat 40 mm Durchmesser, und U = 250 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 395,7 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,03538 = 395,7 W
Antwort
Q̇ = 395,7 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 17,36 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·15) = 0,04167 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,07215 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-2))/0,07215 = 304,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 304,9·0,008658 = 17,36 °C
Antwort
Ts = 17,36 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 19,55 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 40 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 55)/ln(130/55) = 87,19 K
Fläche
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 450000/(300·0,88·87,19) = 19,55 m²
Antwort
A = 19,55 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 19,39 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,3·2,5·(90 − 50) = 30 kW
Tc,out = 15 + 30/(1,5·4,18) = 19,78 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 19,78 = 30,22 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 30,22)/ln(75/30,22) = 49,26 K
Fläche und Länge
A = 30000/(250·49,26) = 2,436 m²
L = A/(πD) = 2,436/(π·0,04) = 19,39 m
Antwort
L = 19,39 m
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