Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Mineralwolle und 25 mm Ziegel, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -8 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Ziegel und 50 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -11 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 260 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 115 auf 45 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 105 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,95, und U = 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 260 kWF = 0,95U = 1000 W/(m²·K)Th: 115 → 45 °CTc: 15 → 105 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 155 auf 55 °C ab. Es erwärmt 1 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 30 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = −7,589 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·20) = 0,001736 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,1267 = 236,7 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 236,7·0,125 = −7,589 °C
Antwort
Ti = −7,589 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 11,81 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,05802 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-11))/0,05802 = 551,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 551,5·0,01667 = 11,81 °C
Antwort
Ts = 11,81 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 15,03 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 105 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 30)/ln(10/30) = 18,2 K
Fläche
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 260000/(1000·0,95·18,2) = 15,03 m²
Antwort
A = 15,03 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 78,28 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·100 = 500 kW
Tc,out = 30 + 500/(1·4,18) = 149,6 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 149,6 = 5,383 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (5,383 − 25)/ln(5,383/25) = 12,77 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(500·12,77) = 78,28 m²
Antwort
A = 78,28 m²
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