Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Beton, k = 1,4250 mmGlas, k = 0,9625 mm15 °C-3 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 250 mm Beton und 25 mm Glas, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 15 °C und -3 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Glas, k = 0,96150 mmGipskarton, k = 0,1775 mmRaum 20 °Caußen -7 °CQ̇

Eine Wand aus 150 mm Glas und 75 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -7 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT130 °C55 °C110 °C10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 240 kW. Das heiße Fluid kühlt von 130 auf 55 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 110 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 240 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 130 → 55 °CTc: 10 → 110 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT110 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2000 W/(m²·K). Kühlwasser (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 25 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 110 °CA = 2 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = −0,7091 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·20) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·20) = 0,001302 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,01023 = 1759 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 1759·0,008929 = −0,7091 °C

Antwort

Ti = −0,7091 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 1,295 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,0515 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,0515) = 1,295 W/(m²·K)

Antwort

U = 1,295 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 9,731 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 110 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 10 = 45 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 45)/ln(20/45) = 30,83 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(800·30,83) = 9,731 m²

Antwort

A = 9,731 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 57,32 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·2/(2·4180) = 0,4785

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 85·0,6197 = 52,68 K
Tc,out = 110 − 52,68 = 57,32 °C

Antwort

Tc,out = 57,32 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 270,2 kW.

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