Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Mineralwolle und 50 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 24 °C und 6 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm expandiertes Polystyrol und 50 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 400 kW. Das heiße Fluid kühlt von 115 auf 95 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 70 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 400 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 115 → 95 °CTc: 30 → 70 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 180 auf 145 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 30 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 145 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 53,41 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,337 = 53,41 W
Antwort
Q̇ = 53,41 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 20,66 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,2793 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-5))/0,2793 = 96,68 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 96,68·0,01389 = 20,66 °C
Antwort
Ts = 20,66 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 36,77 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 70 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 30 = 65 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 65)/ln(45/65) = 54,39 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(200·54,39) = 36,77 m²
Antwort
A = 36,77 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 6,731 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·35 = 161 kW
Tc,out = 30 + 161/(1,5·4,18) = 55,68 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 55,68 = 124,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 145 − 30 = 115 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (124,3 − 115)/ln(124,3/115) = 119,6 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 161000/(200·119,6) = 6,731 m²
Antwort
A = 6,731 m²
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