Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,72100 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03550 mm16 °C-8 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 100 mm Ziegel und 50 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 16 °C und -8 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = -8 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Gipskarton, k = 0,17150 mmMineralwolle, k = 0,04150 mmRaum 21 °Caußen -2 °CQ̇

Eine Wand aus 150 mm Gipskarton und 150 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT180 °C155 °C20 °C150 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 130 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 2,5 m². Das heiße Fluid kühlt von 180 auf 155 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 150 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 130 kWA = 2,5 m²Th: 180 → 155 °CTc: 20 → 150 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT130 °C50 °C46,79 °C20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 130 auf 50 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 20 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 50 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 153,1 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·10) = 0,1429 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,1567 = 153,1 W

Antwort

Q̇ = 153,1 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,2091 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3985 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,3985) = 0,2091 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,2091 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 1163 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 180 − 20 = 160 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 155 − 150 = 5 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (160 − 5)/ln(160/5) = 44,72 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 130000/(2,5·44,72) = 1163 W/(m²·K)

Antwort

U = 1163 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 16,11 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·80 = 168 kW
Tc,out = 20 + 168/(1,5·4,18) = 46,79 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 46,79 = 83,21 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (83,21 − 30)/ln(83,21/30) = 52,16 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 168000/(200·52,16) = 16,11 m²

Antwort

A = 16,11 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer