Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Holz und 150 mm Beton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 25 °C und 9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 25 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Beton und 75 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -12 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 120 kW. Das heiße Fluid kühlt von 140 auf 105 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 45 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 120 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 140 → 105 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 85 auf 60 °C ab. Es erwärmt 2 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 10 °C eintritt. Bestimme mit U = 800 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 85 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 184,1 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,08692 = 184,1 W
Antwort
Q̇ = 184,1 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 1366 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·12) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,02416 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-12))/0,02416 = 1366 W
Antwort
Q̇ = 1366 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 6,674 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 45 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 85)/ln(95/85) = 89,91 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(200·89,91) = 6,674 m²
Antwort
A = 6,674 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 1,227 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·25 = 57,5 kW
Tc,out = 10 + 57,5/(2·4,18) = 16,88 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 16,88 = 68,12 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68,12 − 50)/ln(68,12/50) = 58,59 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 57500/(800·58,59) = 1,227 m²
Antwort
A = 1,227 m²
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