Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Mineralwolle und 100 mm Holz, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Ziegel und 50 mm Glas trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 410 kW. Das heiße Fluid kühlt von 130 auf 40 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 410 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 130 → 40 °CTc: 25 → 65 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 165 auf 125 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 10 °C eintritt. Bestimme mit U = 300 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 165 → 125 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = −2,677 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·12) = 0,5208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,5699 = 47,38 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 47,38·0,5208 = −2,677 °C
Antwort
Ti = −2,677 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 2,809 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·10) = 0,005208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,0356 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,0356) = 2,809 W/(m²·K)
Antwort
U = 2,809 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 15,03 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 65 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 25 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 15)/ln(65/15) = 34,1 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 410000/(800·34,1) = 15,03 m²
Antwort
A = 15,03 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 5,089 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·40 = 150 kW
Tc,out = 10 + 150/(0,5·4,18) = 81,77 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 81,77 = 83,23 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 10 = 115 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (83,23 − 115)/ln(83,23/115) = 98,26 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(300·98,26) = 5,089 m²
Antwort
A = 5,089 m²
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