Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm expandiertes Polystyrol und 150 mm Beton, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 25 °C und 8 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 25 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Mineralwolle und 25 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -13 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -13 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 280 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 3 m². Das heiße Fluid kühlt von 140 auf 70 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 30 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 280 kWA = 3 m²Th: 140 → 70 °CTc: 15 → 30 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 145 auf 70 °C ab. Wasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 10 °C ein. Das Innenrohr hat 50 mm Durchmesser, und U = 500 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 145 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 10 °CD = 50 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 8,313 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,9702 = 17,52 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 17,52·0,9524 = 8,313 °C
Antwort
Ti = 8,313 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 84,22 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·10) = 0,01471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,4037 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-13))/0,4037 = 84,22 W
Antwort
Q̇ = 84,22 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 1251 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 30 = 40 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 40)/ln(125/40) = 74,6 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 280000/(3·74,6) = 1251 W/(m²·K)
Antwort
U = 1251 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 5,532 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,2·2,5·(145 − 70) = 37,5 kW
Tc,out = 10 + 37,5/(1·4,18) = 18,97 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 10 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 18,97 = 51,03 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 51,03)/ln(135/51,03) = 86,31 K
Fläche und Länge
A = 37500/(500·86,31) = 0,8689 m²
L = A/(πD) = 0,8689/(π·0,05) = 5,532 m
Antwort
L = 5,532 m
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