Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Holz und 25 mm Glas, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 25 °C und -8 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 25 °CT3 = -8 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm expandiertes Polystyrol und 75 mm Glas trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 240 kW. Das heiße Fluid kühlt von 80 auf 45 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 60 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 300 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 240 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 80 → 45 °CTc: 10 → 60 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2,5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 20 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 105 °CA = 2,5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 726,6 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·20) = 0,001302 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,04542 = 726,6 W
Antwort
Q̇ = 726,6 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 23,63 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·6) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,7618 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (3))/0,7618 = 23,63 W
Antwort
Q̇ = 23,63 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 29,85 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 60 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 35)/ln(20/35) = 26,8 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(300·26,8) = 29,85 m²
Antwort
A = 29,85 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 90,87 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2,5/(0,5·4180) = 1,794
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,794 = 85·0,1663 = 14,13 K
Tc,out = 105 − 14,13 = 90,87 °C
Antwort
Tc,out = 90,87 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 148,1 kW.
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