Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Beton und 75 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 23 °C und 1 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 23 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Mineralwolle und 75 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit 0 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 180 kW. Das heiße Fluid kühlt von 165 auf 80 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 135 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 180 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 165 → 80 °CTc: 20 → 135 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 1,5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 3000 W/(m²·K). Kühlwasser (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 20 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 130 °CA = 1,5 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 22,19 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·8) = 0,2344 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,2433 = 90,42 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 90,42·0,008929 = 22,19 °C
Antwort
Ti = 22,19 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 19,55 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·15) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,49 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (0))/0,49 = 40,82 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 40,82·0,01111 = 19,55 °C
Antwort
Ts = 19,55 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 20,79 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 135 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 60)/ln(30/60) = 43,28 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(200·43,28) = 20,79 m²
Antwort
A = 20,79 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 65,79 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1,5/(2·4180) = 0,5383
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5383 = 110·0,5838 = 64,21 K
Tc,out = 130 − 64,21 = 65,79 °C
Antwort
Tc,out = 65,79 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 382,8 kW.
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