Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Glas und 100 mm Beton, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Gipskarton und 75 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -6 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 100 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 25 auf 45 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 100 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 45 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 155 auf 45 °C ab. Es erwärmt 3 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 45 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 6,39 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·10) = 0,007143 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,01756 = 1595 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 1595·0,01042 = 6,39 °C
Antwort
Ti = 6,39 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,7039 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·12) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,1184 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,1184) = 0,7039 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,7039 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,3704 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 1·4,18·(45 − 25) = 83,6 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = 100 − 45 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 55)/ln(75/55) = 64,48 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 83600/(3500·64,48) = 0,3704 m²
Antwort
A = 0,3704 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 12,34 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·110 = 379,5 kW
Tc,out = 15 + 379,5/(3·4,18) = 45,26 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 45,26 = 109,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (109,7 − 30)/ln(109,7/30) = 61,48 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 379500/(500·61,48) = 12,34 m²
Antwort
A = 12,34 m²
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