Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Beton, k = 1,4200 mmGipskarton, k = 0,1775 mm18 °C3 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 75 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 18 °C und 3 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 18 °CT3 = 3 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Ziegel, k = 0,72200 mmGipskarton, k = 0,17100 mmRaum 21 °Caußen -4 °CQ̇ = ?

Eine Wand aus 200 mm Ziegel und 100 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT160 °C45 °C30 °C10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 40 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 1 m². Das heiße Fluid kühlt von 160 auf 45 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 30 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 40 kWA = 1 m²Th: 160 → 45 °CTc: 10 → 30 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT180 °C150 °C26 °C15 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 180 auf 150 °C ab. Es erwärmt 3 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 1500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 150 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 14,33 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·6) = 0,07353 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,09734 = 154,1 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 154,1·0,02381 = 14,33 °C

Antwort

Ti = 14,33 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 200,1 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·8) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1249 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-4))/0,1249 = 200,1 W

Antwort

Q̇ = 200,1 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 552,5 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 30 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 35)/ln(130/35) = 72,4 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 40000/(1·72,4) = 552,5 W/(m²·K)

Antwort

U = 552,5 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 0,6376 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·30 = 138 kW
Tc,out = 15 + 138/(3·4,18) = 26 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 26 = 154 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 150 − 15 = 135 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (154 − 135)/ln(154/135) = 144,3 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(1500·144,3) = 0,6376 m²

Antwort

A = 0,6376 m²

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