Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Mineralwolle, k = 0,04100 mmHolz, k = 0,17100 mm19 °C-13 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 100 mm Mineralwolle und 100 mm Holz, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 19 °C und -13 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Mineralwolle, k = 0,04200 mmGlas, k = 0,9675 mmRaum 22 °Caußen -6 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 200 mm Mineralwolle und 75 mm Glas trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -6 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT90 °C55 °C55 °C30 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 450 kW. Das heiße Fluid kühlt von 90 auf 55 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 55 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 450 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 90 → 55 °CTc: 30 → 55 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT100 °C70 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂Gleichstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 100 auf 70 °C ab. Wasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 15 °C ein. Das Innenrohr hat 25 mm Durchmesser, und U = 150 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 70 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 25 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 82,9 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,386 = 82,9 W

Antwort

Q̇ = 82,9 W
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 21,46 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·12) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4348 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (22 − (-6))/0,4348 = 64,39 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 64,39·0,008333 = 21,46 °C

Antwort

Ts = 21,46 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 30,28 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 55 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 25)/ln(35/25) = 29,72 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(500·29,72) = 30,28 m²

Antwort

A = 30,28 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 44,82 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 0,5·2,1·(100 − 70) = 31,5 kW
Tc,out = 15 + 31,5/(0,5·4,18) = 30,07 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 15 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 30,07 = 39,93 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 39,93)/ln(85/39,93) = 59,65 K

Fläche und Länge

A = 31500/(150·59,65) = 3,52 m²
L = A/(πD) = 3,52/(π·0,025) = 44,82 m

Antwort

L = 44,82 m

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