Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Holz, k = 0,17200 mmMineralwolle, k = 0,0425 mm24 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 200 mm Holz und 25 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -6 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Ziegel, k = 0,72150 mmHolz, k = 0,1775 mmRaum 21 °Caußen -5 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 150 mm Ziegel und 75 mm Holz trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT150 °C100 °C120 °C20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 170 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 20 m². Das heiße Fluid kühlt von 150 auf 100 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 120 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 170 kWA = 20 m²Th: 150 → 100 °CTc: 20 → 120 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT125 °C75 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂Gleichstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 125 auf 75 °C ab. Wasser (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 10 °C ein. Das Innenrohr hat 20 mm Durchmesser, und U = 500 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 125 → 75 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 4,408 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·4) = 0,1563 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,4504 = 66,61 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 66,61·0,2941 = 4,408 °C

Antwort

Ti = 4,408 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 16 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,08662 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-5))/0,08662 = 300,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 300,2·0,01667 = 16 °C

Antwort

Ts = 16 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 166,7 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 120 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 20 = 80 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 80)/ln(30/80) = 50,98 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 170000/(20·50,98) = 166,7 W/(m²·K)

Antwort

U = 166,7 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 50,52 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 1·2,1·(125 − 75) = 105 kW
Tc,out = 10 + 105/(0,8·4,18) = 41,4 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 10 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 41,4 = 33,6 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 33,6)/ln(115/33,6) = 66,16 K

Fläche und Länge

A = 105000/(500·66,16) = 3,174 m²
L = A/(πD) = 3,174/(π·0,02) = 50,52 m

Antwort

L = 50,52 m

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