Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 21 °C und 10 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Holz und 75 mm Beton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 480 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 6 m². Das heiße Fluid kühlt von 95 auf 50 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 30 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 480 kWA = 6 m²Th: 95 → 50 °CTc: 15 → 30 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 175 °C ein, der kalte mit 15 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 1,5 m² und U = 200 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 175 °CTc,in = 15 °CA = 1,5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 518,1 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·10) = 0,01429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,02123 = 518,1 W
Antwort
Q̇ = 518,1 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,5744 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·8) = 0,1838 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·8) = 0,006696 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,2176 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,2176) = 0,5744 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,5744 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 1848 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 15 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 30 = 20 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 20)/ln(80/20) = 43,28 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 480000/(6·43,28) = 1848 W/(m²·K)
Antwort
U = 1848 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 138,1 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
1·(175 − Th,out) = 0,3·(Th,out − 15)
Th,out = (1·175 + 0,3·15)/(1 + 0,3) = 138,1 °C
Antwort
Th,out = 138,1 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 36,92 kW; der kalte Strom tritt mit 51,92 °C aus.
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