Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Mineralwolle, k = 0,04150 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03525 mm24 °C1 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 150 mm Mineralwolle und 25 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 24 °C und 1 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 24 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035100 mmBeton, k = 1,4100 mmRaum 20 °Caußen -10 °CQ̇ = ?

Eine Wand aus 100 mm expandiertes Polystyrol und 100 mm Beton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -10 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT80 °C55 °C65 °C25 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 330 kW. Das heiße Fluid kühlt von 80 auf 55 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 330 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 80 → 55 °CTc: 25 → 65 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT140 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 140 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 1,5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2500 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 15 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 140 °CA = 1,5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 4,68 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·20) = 0,1875 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·20) = 0,03571 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,2232 = 103 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 103·0,1875 = 4,68 °C

Antwort

Ti = 4,68 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 97,18 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·10) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·10) = 0,007143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,3087 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (20 − (-10))/0,3087 = 97,18 W

Antwort

Q̇ = 97,18 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 15,25 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 65 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 30)/ln(15/30) = 21,64 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 330000/(1000·21,64) = 15,25 m²

Antwort

A = 15,25 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 119,2 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·1,5/(0,5·4180) = 1,794

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,794 = 125·0,1663 = 20,78 K
Tc,out = 140 − 20,78 = 119,2 °C

Antwort

Tc,out = 119,2 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 217,8 kW.

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