Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm expandiertes Polystyrol und 100 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -3 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 23 °CT3 = -3 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Ziegel und 150 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 380 kW. Das heiße Fluid kühlt von 105 auf 80 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 85 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 380 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 105 → 80 °CTc: 25 → 85 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 150 auf 55 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 55 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 99,27 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·15) = 0,09524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,2619 = 99,27 W
Antwort
Q̇ = 99,27 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 31,46 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,5086 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (5))/0,5086 = 31,46 W
Antwort
Q̇ = 31,46 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 13,73 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 85 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 55)/ln(20/55) = 34,6 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(800·34,6) = 13,73 m²
Antwort
A = 13,73 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 12,48 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·95 = 218,5 kW
Tc,out = 15 + 218,5/(0,5·4,18) = 119,5 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 119,5 = 30,45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30,45 − 40)/ln(30,45/40) = 35,01 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 218500/(500·35,01) = 12,48 m²
Antwort
A = 12,48 m²
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