Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Gipskarton und 50 mm Beton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 15 °C und -8 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 15 °CT3 = -8 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Mineralwolle und 75 mm Holz trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -8 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 60 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 2 m². Das heiße Fluid kühlt von 105 auf 60 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 80 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 60 kWA = 2 m²Th: 105 → 60 °CTc: 25 → 80 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 115 auf 65 °C ab. Wasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 10 °C ein. Das Innenrohr hat 25 mm Durchmesser, und U = 200 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 294,9 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·8) = 0,004464 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,07799 = 294,9 W
Antwort
Q̇ = 294,9 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,2288 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,4371 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,4371) = 0,2288 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,2288 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 1009 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 80 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 35)/ln(25/35) = 29,72 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 60000/(2·29,72) = 1009 W/(m²·K)
Antwort
U = 1009 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 115,4 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 1·2,5·(115 − 65) = 125 kW
Tc,out = 10 + 125/(1,5·4,18) = 29,94 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 29,94 = 85,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 10 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85,06 − 55)/ln(85,06/55) = 68,94 K
Fläche und Länge
A = 125000/(200·68,94) = 9,065 m²
L = A/(πD) = 9,065/(π·0,025) = 115,4 m
Antwort
L = 115,4 m
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