Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,7250 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03550 mm22 °C-12 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 50 mm Ziegel und 50 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -12 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 22 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Holz, k = 0,17250 mmBeton, k = 1,425 mmRaum 22 °Caußen -2 °CQ̇

Eine Wand aus 250 mm Holz und 25 mm Beton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT130 °C110 °C95 °C25 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 470 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 130 auf 110 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 95 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,9, und U = 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 470 kWF = 0,9U = 200 W/(m²·K)Th: 130 → 110 °CTc: 25 → 95 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT80 °C??20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 80 °C ein, der kalte mit 20 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 6 m² und U = 800 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.

Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 80 °CTc,in = 20 °CA = 6 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 136,2 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,2497 = 136,2 W

Antwort

Q̇ = 136,2 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,6141 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·15) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·15) = 0,00119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,1086 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,1086) = 0,6141 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,6141 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 46,34 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 95 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 25 = 85 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 85)/ln(35/85) = 56,35 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 470000/(200·0,9·56,35) = 46,34 m²

Antwort

A = 46,34 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Th,out = 34,29 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1,5·(80 − Th,out) = 4,8·(Th,out − 20)
Th,out = (1,5·80 + 4,8·20)/(1,5 + 4,8) = 34,29 °C

Antwort

Th,out = 34,29 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 68,57 kW; der kalte Strom tritt mit 65,71 °C aus.

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