Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Holz und 50 mm Beton, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 23 °C und 4 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Ziegel und 75 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -14 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 390 kW. Das heiße Fluid kühlt von 125 auf 65 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 40 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 390 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 125 → 65 °CTc: 20 → 40 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 170 auf 90 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 10 °C eintritt. Bestimme mit U = 1500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 170 → 90 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 50,45 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·4) = 0,008929 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,3766 = 50,45 W
Antwort
Q̇ = 50,45 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 1,48 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,0563 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,0563) = 1,48 W/(m²·K)
Antwort
U = 1,48 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 31 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 40 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 45)/ln(85/45) = 62,89 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(200·62,89) = 31 m²
Antwort
A = 31 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 1,188 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·80 = 184 kW
Tc,out = 10 + 184/(1,5·4,18) = 39,35 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 39,35 = 130,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130,7 − 80)/ln(130,7/80) = 103,3 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 184000/(1500·103,3) = 1,188 m²
Antwort
A = 1,188 m²
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