Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Glas und 50 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 20 °C und -12 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Glas und 50 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -14 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 500 kW. Das heiße Fluid kühlt von 80 auf 60 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 55 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 500 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 80 → 60 °CTc: 25 → 55 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 115 auf 50 °C ab. Wasser (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 15 °C ein. Das Innenrohr hat 50 mm Durchmesser, und U = 150 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 50 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 15,43 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·6) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,2431 = 131,7 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 131,7·0,03472 = 15,43 °C
Antwort
Ti = 15,43 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 1,831 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,03641 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,03641) = 1,831 W/(m²·K)
Antwort
U = 1,831 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 16,82 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 55 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 35)/ln(25/35) = 29,72 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(1000·29,72) = 16,82 m²
Antwort
A = 16,82 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 37,22 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,3·2,3·(115 − 50) = 44,85 kW
Tc,out = 15 + 44,85/(0,8·4,18) = 28,41 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 15 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 28,41 = 21,59 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 21,59)/ln(100/21,59) = 51,15 K
Fläche und Länge
A = 44850/(150·51,15) = 5,846 m²
L = A/(πD) = 5,846/(π·0,05) = 37,22 m
Antwort
L = 37,22 m
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