Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm expandiertes Polystyrol und 75 mm Ziegel, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 18 °C und -11 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 18 °CT3 = -11 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Holz und 100 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -10 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 150 kW. Das heiße Fluid kühlt von 170 auf 155 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 100 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 150 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 170 → 155 °CTc: 25 → 100 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 4 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 105 °C ein, der kalte mit 15 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 5 m² und U = 800 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 105 °CTc,in = 15 °CA = 5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 99,09 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·15) = 0,006944 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,2927 = 99,09 W
Antwort
Q̇ = 99,09 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 280,4 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1105 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-10))/0,1105 = 280,4 W
Antwort
Q̇ = 280,4 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 3,231 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 170 − 25 = 145 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 155 − 100 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (145 − 55)/ln(145/55) = 92,84 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(500·92,84) = 3,231 m²
Antwort
A = 3,231 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 60 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
4·(105 − Th,out) = 4·(Th,out − 15)
Th,out = (4·105 + 4·15)/(4 + 4) = 60 °C
Antwort
Th,out = 60 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 180 kW; der kalte Strom tritt mit 60 °C aus.
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