Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Mineralwolle und 100 mm Glas, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -14 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = -14 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Gipskarton und 75 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 490 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 170 auf 130 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 30 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,85, und U = 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 490 kWF = 0,85U = 200 W/(m²·K)Th: 170 → 130 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 105 auf 70 °C ab. Wasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 25 mm Durchmesser, und U = 300 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 105 → 70 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = −13,38 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·10) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 38/0,6354 = 59,8 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 59,8·0,625 = −13,38 °C
Antwort
Ti = −13,38 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 116,6 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·15) = 0,07843 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·15) = 0,125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,2144 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-5))/0,2144 = 116,6 W
Antwort
Q̇ = 116,6 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 23,17 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 30 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 20 = 110 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 110)/ln(140/110) = 124,4 K
Fläche
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 490000/(200·0,85·124,4) = 23,17 m²
Antwort
A = 23,17 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 43,9 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,8·2,1·(105 − 70) = 58,8 kW
Tc,out = 25 + 58,8/(1,5·4,18) = 34,38 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 34,38 = 70,62 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 25 = 45 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70,62 − 45)/ln(70,62/45) = 56,85 K
Fläche und Länge
A = 58800/(300·56,85) = 3,448 m²
L = A/(πD) = 3,448/(π·0,025) = 43,9 m
Antwort
L = 43,9 m
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