Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Ziegel und 50 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -4 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 22 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Glas und 75 mm Beton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 370 kW. Das heiße Fluid kühlt von 125 auf 90 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 40 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 370 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 125 → 90 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 170 auf 130 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 1500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 170 → 130 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 138,9 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·8) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1873 = 138,9 W
Antwort
Q̇ = 138,9 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 2,779 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·20) = 0,007813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·20) = 0,002679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,01799 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,01799) = 2,779 W/(m²·K)
Antwort
U = 2,779 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 9,926 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 40 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 25 = 65 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 65)/ln(85/65) = 74,55 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(500·74,55) = 9,926 m²
Antwort
A = 9,926 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,7433 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·40 = 138 kW
Tc,out = 15 + 138/(1,5·4,18) = 37,01 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 37,01 = 133 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (133 − 115)/ln(133/115) = 123,8 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(1500·123,8) = 0,7433 m²
Antwort
A = 0,7433 m²
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