Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 75 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 15 °C und 7 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 15 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Ziegel und 50 mm Beton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -9 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 420 kW. Das heiße Fluid kühlt von 135 auf 120 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 420 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 135 → 120 °CTc: 10 → 65 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 85 auf 60 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 30 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 85 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 10,65 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·12) = 0,5952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·12) = 0,1563 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0,7515 = 10,65 W
Antwort
Q̇ = 10,65 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 3,081 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,0541 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,0541) = 3,081 W/(m²·K)
Antwort
U = 3,081 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 24,63 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 135 − 10 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 120 − 65 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 55)/ln(125/55) = 85,26 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 420000/(200·85,26) = 24,63 m²
Antwort
A = 24,63 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 17,06 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·25 = 78,75 kW
Tc,out = 30 + 78,75/(0,5·4,18) = 67,68 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 67,68 = 17,32 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (17,32 − 30)/ln(17,32/30) = 23,08 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 78750/(200·23,08) = 17,06 m²
Antwort
A = 17,06 m²
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