Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz: Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand: R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand: R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-Wert: U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung: Q = U·A·ΔT_lm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilanz eines Stroms: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel

Eine Wand besteht aus 150 mm Gipskarton und 100 mm Beton, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 17 °C und 10 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L₁ = 150 mm, k₁ = 0,17 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²T₁ = 17 °CT₃ = 10 °C

Q̇ = W

2.WärmeleitungSchwer

Eine Wand aus 150 mm Mineralwolle und 100 mm Ziegel trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -12 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.

L₁ = 150 mm, k₁ = 0,04 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 30 W/(m²·K)T_room = 20 °CT_out = -12 °C

Q̇ = W

3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 60 kW. Das heiße Fluid kühlt von 95 auf 70 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 85 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)T_h: 95 → 70 °CT_c: 25 → 85 °C

A = m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer

Dampf kondensiert bei konstant 100 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2000 W/(m²·K). Kühlwasser (3 kg/s, c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 30 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers T_c,out.

T_s = 100 °CA = 2 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 30 °C

T_c,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 73,39 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(1,4·10) = 0,007143 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 7/0,09538 = 73,39 W

Antwort

Q̇ = 73,39 W

2.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 78,26 W

Widerstände in Reihe

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W

ΣR = 0,4089 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (20 − (-12))/0,4089 = 78,26 W

Antwort

Q̇ = 78,26 W

3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 5,157 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔT_lm, mit ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔT_lm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 95 − 85 = 10 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 70 − 25 = 45 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 45)/ln(10/45) = 23,27 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 60000/(500·23,27) = 5,157 m²

Antwort

A = 5,157 m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: T_c,out = 49,12 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = T_s − T_c,in und ΔT₂ = T_s − T_c,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁc_p(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)

ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁc_p) = 2000·2/(3·4180) = 0,319

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e^−0,319 = 70·0,7269 = 50,88 K

T_c,out = 100 − 50,88 = 49,12 °C

Antwort

T_c,out = 49,12 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 239,7 kW.

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