Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Gipskarton, k = 0,17250 mmZiegel, k = 0,72150 mm19 °C-15 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 250 mm Gipskarton und 150 mm Ziegel, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 19 °C und -15 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Mineralwolle, k = 0,04100 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,035100 mmRaum 20 °Caußen -13 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 100 mm Mineralwolle und 100 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -13 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT175 °C100 °C25 °C75 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 310 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 1 m². Das heiße Fluid kühlt von 175 auf 100 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 75 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 310 kWA = 1 m²Th: 175 → 100 °CTc: 25 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT110 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 15 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 110 °CA = 2 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 303,8 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·15) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,1119 = 303,8 W

Antwort

Q̇ = 303,8 W
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 19,25 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,2766 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (20 − (-13))/0,2766 = 119,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 119,3·0,00625 = 19,25 °C

Antwort

Ts = 19,25 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 4444 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 25 = 150 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 75 = 25 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150 − 25)/ln(150/25) = 69,76 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 310000/(1·69,76) = 4444 W/(m²·K)

Antwort

U = 4444 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 51,13 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2/(1,5·4180) = 0,4785

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 95·0,6197 = 58,87 K
Tc,out = 110 − 58,87 = 51,13 °C

Antwort

Tc,out = 51,13 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 226,5 kW.

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