Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Mineralwolle und 25 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 20 °C und 6 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 20 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Ziegel und 150 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -15 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 20 auf 90 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 2000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 105 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 90 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 4 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 145 °C ein, der kalte mit 20 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 6 m² und U = 800 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 145 °CTc,in = 20 °CA = 6 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 6,4 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·8) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,6434 = 21,76 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 21,76·0,625 = 6,4 °C
Antwort
Ti = 6,4 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 112,2 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·15) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,3209 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-15))/0,3209 = 112,2 W
Antwort
Q̇ = 112,2 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 5,438 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 1,5·4,18·(90 − 20) = 438,9 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 90 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 15)/ln(85/15) = 40,36 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 438900/(2000·40,36) = 5,438 m²
Antwort
A = 5,438 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 76,82 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
4·(145 − Th,out) = 4,8·(Th,out − 20)
Th,out = (4·145 + 4,8·20)/(4 + 4,8) = 76,82 °C
Antwort
Th,out = 76,82 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 272,7 kW; der kalte Strom tritt mit 88,18 °C aus.
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