Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Glas und 100 mm Ziegel, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 15 °C und 6 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Holz und 50 mm Beton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -11 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 390 kW. Das heiße Fluid kühlt von 160 auf 65 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 135 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 390 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 160 → 65 °CTc: 30 → 135 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 180 auf 130 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 300 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 130 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 9,6 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·15) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·15) = 0,009259 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0,02315 = 388,8 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 388,8·0,01389 = 9,6 °C
Antwort
Ti = 9,6 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,5966 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·20) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·20) = 0,001786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,08381 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,08381) = 0,5966 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,5966 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 16,4 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 135 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 30 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 35)/ln(25/35) = 29,72 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(800·29,72) = 16,4 m²
Antwort
A = 16,4 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 1,522 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·50 = 57,5 kW
Tc,out = 15 + 57,5/(0,5·4,18) = 42,51 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 42,51 = 137,5 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (137,5 − 115)/ln(137,5/115) = 125,9 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 57500/(300·125,9) = 1,522 m²
Antwort
A = 1,522 m²
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