Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Ziegel und 25 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 17 °C und -9 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm expandiertes Polystyrol und 50 mm Ziegel trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -9 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 270 kW. Das heiße Fluid kühlt von 170 auf 50 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 35 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 270 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 170 → 50 °CTc: 20 → 35 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 125 auf 105 °C ab. Es erwärmt 3 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 25 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 125 → 105 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 10,5 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·8) = 0,07813 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1042 = 249,6 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 249,6·0,02604 = 10,5 °C
Antwort
Ti = 10,5 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,3242 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,2057 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,2057) = 0,3242 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,3242 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 5,756 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 170 − 20 = 150 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 35 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150 − 15)/ln(150/15) = 58,63 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(800·58,63) = 5,756 m²
Antwort
A = 5,756 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 1,295 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·20 = 23 kW
Tc,out = 25 + 23/(3·4,18) = 26,83 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 26,83 = 98,17 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 25 = 80 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (98,17 − 80)/ln(98,17/80) = 88,77 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 23000/(200·88,77) = 1,295 m²
Antwort
A = 1,295 m²
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