Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 40 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 150 kPa und die Geschwindigkeit 1,75 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 150 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 75 mm auf 25 mm verengt und dabei um 6 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 380 kPa und die Geschwindigkeit 1 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 380 kPav1 = 1 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,5 m/s durch ein waagerechtes, 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.
V = 1,5 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 12 L/s?
Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 10 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 32 m, während ihre Welle 3,8 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 10 L/sH = 32 mPshaft = 3,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 75 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 15 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5
H = m
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Trapezgerinne (Kies) hat eine Sohlbreite von 5 m und eine Böschungsneigung von 2:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1,6 m tief. Manning n = 0,025, und das Sohlgefälle ist S = 0,0008. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
b = 5 my = 1,6 mz = 2n = 0,025S = 0,0008
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 450 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 0,75 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 0,75 m/s
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 264,9 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·9 = 264,9 kN
Antwort
F = 264,9 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 3,25 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·6 = 155,4 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 4,5/(3·6) = 3,25 m
Antwort
ycp = 3,25 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 132,6 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−17,39) = 132,6 kPa
Antwort
p2 = 132,6 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 281,1 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/25)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 380 + (−40) − 58,86 = 281,1 kPa
Antwort
p2 = 281,1 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δp = 18 kPa
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlusthöhe
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,25)·1,5²/(2·9,81) = 1,835 m
Druckverlust
Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,835 = 18000 Pa = 18 kPa
Antwort
Δp = 18 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δz = 3,617 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Gesamte Verlusthöhe
hf = 18·0,119 = 2,142 m
hm = 12,4·0,119 = 1,475 m
Δz = hf + hm = 3,617 m
Antwort
Δz = 3,617 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 82,61 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·32 = 3,139 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 3,139/3,8 = 82,61%
Antwort
η = 82,61%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 19,07 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,2905 = 4,067 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.
H = Δz + hL = 15 + 4,067 = 19,07 m
Antwort
H = 19,07 m
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 15,62 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1,6)·1,6 = 13,12 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,6·√(1 + 2²) = 12,16 m
R = A/P = 1,079 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,025)·1,0792/3·0,00081/2 = 1,19 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 13,12·1,19 = 15,62 m³/s
Antwort
Q = 15,62 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,00175 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Hydraulischer Radius
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
Manning nach S auflösen
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,75/0,233)² = 0,00175
Antwort
S = 0,00175
Das ist ein Gefälle von 1,75 m pro Kilometer.
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